Ana içeriğe atla

Delik Dünya Problemi

Şimdi bazı hayal dünyasında yaşayan zevat diyor ki: Dünyayı matkapla tenis topunu deler gibi bir noktadan delip tam karşı noktadan çıksak sonra da bu kuyuya atlasak başımıza ne iş gelir? Gelin gundiler açıklıyoruz.
Öncelikle dünya yüzeyi uzaktan düz gibi dursa da bildiğiniz üzere Everest ile Mariana çukurunun rakım farkı 17000 km. Öyle çok düz bir yer değil ama biz farzedelim ki teknolojimiz imkan verdi ve deniz seviyesinde ve denizden yeteri kadar uzaktaki bir kara parçasından delmeye başlayıp yine deniz seviyesinde ve denizden yeteri kadar uzakta bir noktadan çıktık. Önce başımıza gelecek şey çukurun atmosferi yutacak olması. Ayrıca magmadan çıkan gazlarla dünya yaşanmaz falan olur ama gelin biz yine iyimser olalım ve atmosfer yerinde dursun hiç o deliğe kaçmasın; çekirdek, magma falan çok sıcak olmasın yani şöyle anlatayım ben siz gevşek ruhlulara: haziran ayında İzmir'de sahilde hafif meltem eserkenki sıcaklıkta olsa bizim deliğin içi.
İki şeyden yırttık: hava sürtünmesi ve magmanın ve çekirdeğin sıcaklığı ile kebap olmaktan. Ama cefakar halkımızın dertlerini anlattığı tarhana kokulu türkülerimizin dediği gibi bu dünya fırıldaktır. Fırıl fırıl kendi ekseninde döner. Dolayısıyla coriolis kuvveti vardır. O kuvvattır ki o deliğe atlayan yiğidi deliğin çevresine çarpa çarpa parçalar alim Allah. O nedenle dünya dönmesin de kendi ekseninde veya biz deliği tam olarak dünyanın kendi etrafında dönme ekseninden açtık diye varsayalım ki atlayan maceraperest tek parça kalsın.
Buraya kadar problemimizi yeteri kadar basit hale getirdik diye düşünüyoruz ama değil. Çünkü dünya denen küre homojen de değil. Her katmanında yoğunluk farklı. Dolayısıyla deliğe atladıktan sonra er kişiye etkiyecek ivme her noktada farklı olacaktır. Gelin bu ivmenin matematiksel ifadesini gelin Newton Reyiz'in o ünlü kütle çekim kuvveti ifadesinden çıkaralım: ma =- G Mm r 2 a = -G M r 2 a = -G 1 r 2 0 r 4 π ρ ( r ) r 2 r a( r ) =- 4 π G 0 r ρ ( r ) r . Burada M , dünyanın kütlesi; ρ ( r ) , dünyanın her katmanının merkezden uzaklığına (yarıçapa) bağlı yoğunluk fonksiyonu; r de yarıçaptır.( G 'nin evrensel çekim sabiti olduğunu bilmeyenler lütfen burayı terketsin. 4 ve π 'de sabit sayı.) O baştaki eksiliğin nedeni de biz yarı çapı merkezden yüzeye doğru ölçerken kuvvetin yüzeyden merkeze doğru olması. Dünyanın yüzeyinin yarıçapına R dersek, r=R durumunda, yani dünyanın yüzeyine yakın yerlerde ivme bilinen yer çekimi ivmesine eşit olacaktır, a=g . Ama içerilere indikçe dünya homojen olmadığından ivme bir artıp bir azalabilir.
Bu integralin alınabilmesi için yoğunluk fonksiyonunu bilmemiz gerekiyor. Gelin biz bilinebileck en basit halini hesaba katalım. O da dünyanın homojen olması durumu... Bu durumda integral gayet basit bir şekilde alınır ve a=-4 π G ρ r şeklinde bulunur. Artık bu noktadan sonra cismin hareketine dair bilgi alacağımız hareket denklemi çözülebilir hale geldi. Gelin 4 π G ρ sayısının tamamına ω 2 diyelim. Bu durumda bizim denklem şöyle olur: a= d 2 r d t 2 =- ω 2 r. Bu sabit katsayılı diferansiyel denklemin çözümü gayet basittir ve genel çözümü aynen şöyle bulunur: r( t ) = a 0 cos( ω t ) + b 0 sin( ω t ) . Burada a 0 ve b 0 iki sabit katsayıdır ve başlangıç koşullarına göre belirlenirler. başlangıç anında, yani t=0 iken, bizim kahraman dünya yüzeyinde olacağından r( 0 ) =R= a 0 olacaktır. Kahramanımızın kendisini delikten serbest düşmeye bıraktığını da farzedersek v( t ) = dr dt = -R ω sin( ω t ) + ω b 0 cos( ω t ) olur ve t=0 iken kahramanın hızı, yani ilk hızı, sıfır olacağı için 0 = ω b 0 0 = b 0 olarak bu katsayılar da belirlenir. Sonuç olarak bizim kahramanımız homojen bir küre olarak düşünülen dünyanın içinde zamanla r( t ) =Rcos( ω t ) şeklinde bir yol izler. Bu da demek oluyor ki bizim kahraman dünyanın bir o yüzeyine bir bu yüzeyine yay gibi gidip gelecek, ölümünü bu delik içinde görecek demektir.
Ez cümle basit bir fizik eğlencesi böylece sona erdi. Bir diğerinde buluşmak üzere.

Yorumlar

Bu blogdaki popüler yayınlar

Mate'li Ubuntu 14.04.1: Aslı Varken Taklidine Kim Bakar?

Malumu olanlar bilir, Ubuntu 14.04 sürümünden beri Linux Mint ekibinin geliştirdiği Gnome 2 çatallaması Mate masaüstü ortamını da portföyüne ekledi.

Hafif ve eskiden beri Gnome kullanan gavurcası "geek user" diye tabir edilen kitleye hitap eden bu nostaljik masaüstü, Gnome 3 ile gelen Ubuntu'nun  Unity ve Gnome Shell arayüzlerine ısınamayan bu kitleye ilaç gibi gelmişti. Birlikte doğan kardeşi Cinnamon ise bir Gnome Shell çatallaması olarak doğdu fakat sonradan büyük ilgi görünce Linux Mint ekibi işi büyütüp ayrı bir masaüstü ortamına dönüştürdü Cinnamon'u.

MacOS ile Dört Ay

Mac’e geçişimin üzerinden dört ay geçmiş ve ben fark ettim ki bundan hiç bahsetmedim. Ben de bu işi dört ay sonra yapayım dedim. Bu yazacaklarım profesyonel bir karşılaştırma yazısından daha çok gündelik kullanımlarda hayatımda nelerin değiştiğini tespit etmekten başka bir şey değil. Böylece son-kullanıcı tartışmalarına da bir yönüyle katkıda bulunmak istedim.

Linux Mint 17 Qiana RC izlenimleri ve Masaüstüm

Her LTS sürümü ayrı bir heyecandır. Ubuntu 14.04 LTS (Long Term Supported) sürümü geçen ay yayınlandıktan sonra Qiana kod adlı Linux Mint 17 LTS'yi heyecanla bekliyordum. Onun da bu haftasonu sürüm adayı yayınlandı. Mint'in LTS sürümleri zaten Ubuntu üzerine kurulu olduğu için aynı Ubuntu'nun LTS sürümleri gibi fazlasıyla stabil. Ben sürüm adayı (release candidate) halinde bile birkez hata ile karşılaşmadım.